形狀：資訊、生物、策略、民主和所有事物背後隱藏的幾何學(Shape: The Hidden Geometry of Information, Biology, Strategy, Democracy, and Everything Else,Jordan Ellenberg)
這一本是談幾何學.光是名詞幾何學或是Geometry的出現,應該就嚇跑了許多人.不過這書沒有教課書那類的幾何圖或是複雜的算式,主要是以揭露生活中許多常見但隱藏的幾何學現象.
可能也基於眾人畏懼數學,幾何學,為了化解疑慮,吸引讀者,開篇作者就到了三位戮力學習幾何學的人,但這三人既非數學家,更不是依數學為業,相反的,他們應該都算是我們今日所謂的文科生,分別是林肯,傑佛遜,霍布斯.當然,其實他們並不是真的文科生,雖然三人若非從事政治工作,律師,就是以研究政治哲學著稱,但以前的人受教學習不似今日分科明顯,涇渭分明.傑佛遜認為幾何學是高雅貴族必要的古典教育,他雖是政治人物,任過總統,但也擅長農學,數學,密碼學,密碼學.霍布斯對於心智的自信來幾何學.林肯雖靠自學為律師,正式教育的程度不足,但他以為幾何學是掃除胡言亂語的工具,所言所語必須有不正自明的公設推演而得的邏輯事實,才能讓人無法否認,這是從幾何證明過程中領悟出的辯論真理,對他來說用不合邏輯或險惡的推理去與人辯論,或寫文章,等同於偷盜,這與今日那些經常說出欠缺智商完全沒有基本常識的話的律師習性可以說是大異其趣.
幾何學是數學的一個分支,主要研究形狀,大小,圖形的相對位置等空間區域關係以及空間形式的度量,有關長度,面積及體積的知識,西方將幾何學視為數學的部份,直到歐幾里得的出現,歐幾里得成為幾何學的標準.幾何在希臘文原指的是"丈量大地",因此可將一塊地或一群人或一群馬視為幾何,其實就是對任兩點,兩群,兩塊定一個數字,將之視為彼此間的距離.阿基米德發展了計算面積,體積的方法,甚至衍生出其後積分的概念.天文學中有關恆星和行星相對位置,及其相對運動的關係,都是後續幾何探討的主題.笛卡兒發明的坐標系統,與同時期代數的發展讓幾何學進入新階段,讓各類幾何圖形可以用函數或方程的方式表示,這對微積分的引入有重要的影響,透視投影的理論讓幾何學不再只是物體的度量屬性,透視投影衍生出射影幾何,歐拉及高斯開始有關幾何物件本體性質的研究,使幾何的主題繼續擴充,最後產生了拓撲學及微分幾何.
在歐幾里德的時代,實際空間和幾何空間之間沒有明顯的區別,但現代幾何的空間的概念有了大幅的調整,在二十世紀形式數學興起以後,定義空間中包括點,線,面已沒有其直觀的概念在內,需要區分實體空間,幾何空間以及抽象空間.現代幾何學的一個基本見解是不同的選擇意味著不同的幾何學.當繪製族譜樹上表親之間的距離時,關係的間隔數可以視作是一種"距離",所以親屬關係圖是一種幾何.兩個城市之間的距離是連接兩者的直線長度,以距離衡量,它是一種幾何.但還有另一種幾何,兩個城市之間的距離是以交通時間的長短決定,它又成了一種新式的幾何,也可以城市的字母排列順序成為一種幾何,.這種就和馬流感或是covid-19的傳播也是一種幾何,它是一種人與人間隔的數量,這許親屬圖系關分布是類似的,由此可知幾何學已經不是固定不變,而是可以依我們的意志與想法而改變.
本書的論述相對散亂,看不出一個重點,但似乎哪哪都是值得一看的內容,而我以為本書從頭至尾由兩個概念貫穿連結,一是"不同事物,同一名字",一是"今天發生的事情明天也會發生",這也分別是書的第三章,及第十章的章名.事實上這個用語過'ˊ,若用常見的數學語言替換,第一個可以簡稱為"相似"(similarity),第二個可以簡稱為"迭代"(interation)."相似"的觀念在這裡有兩層意義,首先它確實是從幾何學裡來的,國中一開始學習的相似三角形的證明便是我們初次接觸這個名詞的開始,這是其中的一層意義,技術面的,兩個看起來相似的圖形.但"相似"在本書裡還有另一層意思,是類比,類推.透過將一個圖形透過拉伸,翻轉,旋轉可以得出另一個圖形,但它本質上還是原來的那個圖形,必然擁有某些相同的根本資訊的留存.比如生物學調查上透過研究蚊子的飛行來計算它帶病菌傳播的走向與速度,這與證券市場的股票價格有何關係?他們其實屬於隨機漫步所討論的範疇,兩者的相似性個然可以從畫圖來找到,但其實"相似"的它運作中的根本邏輯,同樣的概念,在生物學家發現花粉在水中的擴散碰撞形成的布朗運動,與熱力學裡的定律,可能與金融商品價格的不斷出現新的價格,資訊的碰撞有"相似"的狀況,而這種相似不單是作用上的西相似,化作圖形與方程式可能都有約略的相似,甚至一致,因此熱力學的公式,布朗運動的公式為什麼會被許多金融數學直接拿來使用便是這個道理.於是生物防治,金融交易,在看起來完全不一樣的事物,有了"相似"的連結,自然也就樂類似的幾何.從其中的隨機過程,到可能的馬可夫鏈可以被用在生物生物學,遺傳學,也可因為相似性被使用於資訊領域的密碼學,甚至更進一步的在人工智慧裡的"語言邏輯","文字邏輯"裡被延續使用了下來.
從密碼學,語言學的發展上走出了一個"選擇"問題.選擇可以是生物上親子幾代之間的問題,可以是下棋的每一次決策間的連續問題,可以是撲克遊戲中的下注問題,也可以是超過300位數數字的因數分解問題,它是人工智慧中神經網路問題,是數學裡因式分解問題,是生物親屬關係的遠近問題.這些問題中隱藏著三種需要釐清的部分,一是適用甚麼工具來做,如何做?如何來做最後的決策?他們都相似的能夠代換成為一種"樹"形決策圖,透過試誤法(try and errror)進行每一條路徑的可行性評估,給予分數,最終區分出能夠取得之解,與最佳路徑,或最佳的下法.而人們於其中會發現某些遊戲有既定的答案,必然贏,必然輸,必然和,當窮盡了所有的步驟找到了每一種組合的分數後,這最終答案其實一方面宣告了定式的結果非人力可變,一方面透露出人生的最終樂趣是在旅途中的享受,而非結果論的悲喜.因為人不識機器,不可能事前窮盡所有路徑,一定會有錯,一定會有算不可及,這是人工智慧,也是人生智慧.是本書的重點之一.
人工智慧相關領域之外,書籍的另一個主題則是"流行疫情",而這便是"今天發生的事情明天也會發生"的主軸.因為流行病染疫者數量的變化是一種看似粗略快速增長隨後逐步退散的形式,就其形態,它其實就是一種數列表現,只是這種數列的表現形式不是隨機的,而是前後數字間存在某種關係,或整串數字間有特定的消長邏輯,比如感染率的影響,這便是我所說的"迭代".一種重複卻又不完全一樣.作者於此先討論的許多今日已然不陌生的觀念,如傳染率,感染數,群體免疫.同時也探索了要如何做能讓原先呈指數成長的染病人數的成長速率衰減,甚至達到阻斷衰退的目標.而我們甚至能從中猜測covid19因為當前疫苗無法達成阻斷傳播,曾經染疫者也不保證不會重複感染,因此群體免疫的概念在此案中可能尚未或不能發揮作用.相對於流螢疫情,還有其他的數列,比如費茲納波數列,及其衍生的黃金切割律,對我來說這不陌生,我們金融商品的技術分析中有一派被稱為波浪理論的就是由這個數列觀念所產生的預測價格走勢的方法,它也是一種"迭代"的推演,只是這種迭代背後藏有一個隱藏的黃金切割律0.618做為數列間彼此關係的恆定,而這種隱藏著某種恆定係數的數列觀念也在音樂的和弦中,人類關係的間隔數上,在化學恩的結構上出現,這又讓敘述迭代與前面所述的相似再度連上關係,形成一本完整的幾何學通用常識論述的書籍.
最後有一章單獨列於此"相似","迭代"主題之外,是關於選區劃分問題.共和黨在威斯康辛州可以利用50%的得票數取得60%州議會的席位,這是因為他們利用了法律定期調整的規定,私下劃定出最有利於己黨的不公平選區劃分方式.這問題作者分兩部分討論,篇幅不小,但都很有意義.一個是不公平選區的劃分有沒有可能被改變成為公平選區的劃分.一個是區要不需要將前者調整為後者.遞一個是數學問題,作者給出了它的逐步調整答案,是可行的,也就是讓50%的得票率只能得到50%的席位,或合理範圍的誤差,但作者同時也向我們證明這種改變沒偶意義,因為如果照同比率票數贏得約略相等比率的選區,很有可能最終分布結果是40%票數的政黨,一席都不會取得,這是因為單一選區對決者贏者全拿的問題,如過某黨選民人口均勻分布,恰好分散到一席都拿不到.第二個問題則是政治問題,何以均勻選區劃分就是公平?作者引用了許多美國大法官的見解,除了數學,這裡還有一些值得參考的看法,算是書籍額外的亮點.
持平的說,這本書的主題其實是有趣的,但個人以為作者的切割及敘述缺少一種整體的脈絡,讀者不易統整,我自己將它分成"相似""迭代"兩個子題也不過是一種簡便卻不完全精確的做法.另外,本書的翻譯有點怪,國內常見的譯名似乎都被用一種不常見的名稱給替代了,比如資訊界人物圖靈,本書翻作圖寧,天花疫苗的發現者金納醫生,本書翻成基納,塞爾維亞首都貝爾格勒,這邊稱為貝爾格萊德,其下還有很多,雖然不妨礙閱讀,但總有隔一層的感覺,略為可惜.以上.
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