數學教你不犯錯(上)(下)( HOW NOT TO BE WRONG:The Power of Mathematical Thinking, Jordan Ellenberg)
飼料公會舉辦年度全國飼料評比調查,分別調查各類家禽家畜與寵物的眾多飼主,由飼主來評比自己對所用飼料的滿意度,於是飼料公會得出這樣的排名,雞飼料,狗飼料,貓飼料,金魚飼料,牛飼料,豬飼料......就這樣,雞,狗,貓飼料分別獲得飼料公會頒布全國最佳飼料的前三名.
以上這個飼料評比當然是唬爛的,稍微想一下就知道,雞飼料如何去與貓飼料做評比排名,先不說雙方使用受眾不同,飼料內容物間就不具備可比較性,請問雞飼料評比高於狗飼料的意義是什麼?.這種評比本身就是荒唐,一眼即可得知.但是,如果我將雞飼料改成為屏東縣府的施政,雞飼主改成屏東縣民,豬飼料改為新北市府的施政,豬飼主改為新北市民,你就會發現這種荒唐的調查在日常生活裡普遍充斥,還可以被媒體做成全國施政最佳縣市長排名,且行之有年,荒唐了許多年.而其中的關鍵問題是究竟選民的滿意度與首長施政成績的高低間有何直接關係?歷史顯出男人不壞,女人不愛的效應可能也會發生在選民投票的行為上,好的施政成績未必能與選民喜好掛上鉤,滿意度顯出的就只是我喜歡你而已,根本與首長真的做出了什麼成績無關.
後來,不知道是媒體看到了這樣的批評,還是自己發現了這其中的荒唐,總之就是不玩排行了,改用星級制度.就是不再跨區比較出排名.當然飼料公會也跟著仿效起來,根據雞飼料的組成份子,包括大小,軟硬,顏色深淺,香氣,排泄物狀態等各種項目讓飼主來評分,由極度滿意,滿意,普通,不滿意,極度不滿意五分法讓飼主填選自己對各項成分的滿意度高低.公會再由這幾項滿意度的轉為分數,平均分數達到90分以上的是五星,80分的是四星,...於是乎雞飼料,牛飼料,狗飼料,貓飼料,都贏得了五星飼料的稱號,其他的飼料也幾乎都是四星級飼料.後來有一個亞洲媒體看到了這評比方式覺得有趣,也仿效來用在評比亞洲領導人施政獲民眾滿意的評比上,分別用問調查各國國民對自家領導人的滿意度,評選結果它選出了莫迪,小馬可仕,安華為五星領導人,李顯龍是四星,而岸田,尹錫悅則只獲得兩星.至於習近平則是在問有沒有反對他應會得超五星評價的提問中得到..沒有..沒有...沒有..沒有....通過.的回應,..在掌聲中贏得了 超五+星級的最高等級評價.
亞洲媒體評選星級領導人的事當然是我唬爛的.但是卻應該是在亞洲會真的發生的事,有多少人會真認為小馬可仕,安華比李顯龍,岸田施政能力更高,或評價更好?除了問券調查可能涉及人為舞弊之外,調查受眾對於領導人施政評價的感受本身存在著組間的嚴重差異.某些國家人民平均受教年限超過12年,有的則不滿6年,各國經濟發展程度不同,傳媒發達度不同,各國的人民文化性格不同,這些都可能影響了評比的基準性,在甲國人民評價得到的五星,其實可能只等於在乙國人民眼中的二星.是的,我只是以跨國比較的方式就顯出了星級評選制的另一種荒唐度,同樣的五星是不同的內涵,星級制只約略在同一地區前後任之間的比較作用上有意義而已,就是上一任縣市長與現任間的滿意度差異比較有點意義,前任三星現任五星差異可能會有點意義,因為問券是在同一個近似變化不大的母體中抽出的,其他的評比結果與它區共列則毫無價值.且星級制評價的核心問題仍是一樣,滿意度與施政成績間並無太多相關性的連結,內核純粹就是在問選民支持不支持喜不喜愛這個人而已,前面說的壞男人理論.所以什麼五星級市長評比根本上就沒有任何施政成績上的意義.
以上的滿意度統計調查的弊病問題是我歷來觀察思考下的種種彙整,只是用一種比較誇張的表述來呈現.但社會上種種濫用數學,統計調查的例子很常見,從一發命中率70%衍生出三發命中率210%那種明顯的錯誤,到以上這種由許多博碩士組成的媒體企業與統計調查機構的各類評比的誤導.產生這樣的現象其中有諸多原因,比如講述的內容中如有數學,統計來佐證看來比較科學,理性,講理,有人可能會以為有數覺解釋比較高檔,當然也可能是因為媒體丟掉了傳統第四權應該監督揭弊角色,主動轉成了捧臭腳的犬媒身份以便能在權錢方面得利而加重自身的影響力,於是如果利用數學正好能夠有條件的設計出他們想要的可能的結果來傳播,那麼運用令人眼花撩亂的數學統計來迷惑他人的思考是一種簡潔又難以被普通人揭露的偽裝假象工具何樂不為.這本"數學教你不犯錯"主要談的就是在生活中我們常見的種種可能運用,或領會,感知的某些知識,概念,觀點,信仰,等因為數學的背書或誤用而造成我們可能犯錯,或迷信的諸多面向案例說明.從過度看重小概率事件,現象而產生的一些醫學知識誤解,到不參與玩樂透彩的極小中頭獎機率而錯失可能能從中或去定額收益的方式等,又比如三位以上的候選人的當選率與選舉制度間的關係如何採用支持度間的差異看初選舉制度的不同如何的影響了可能當選人物的不同等等的內容結構說明上.因為真正的數學往往在解題之外,甚至是在數字之前.但是學校教育往往把重心放在了一些封閉式習題的解題技巧上,我們記得許多公式,在實際運用上可能也可以用在生活中某些事情上,但是生活遇到實際問題若不是單純的封閉空間,則反而成為了障礙,因為那會讓人們忽略掉許多原先公式沒有考慮到的環境與條件變異.譬如我們了解統計學,用數字比較幾個對象間的區別,但可能卻被大數定理給欺騙了,過度執著於沒有太大意義的數據.也可能驚艷於實驗數據卻忘了回頭想想零假設的存在,輕信了浮於表面的宣傳.還有許多看似有跡可循的機率問題為什麼總和我們設想的不一樣?作者Ellenberg說"用一個數除以另一個數只是單純的計算,考慮清楚用什麼除以什麼才是真正的數學問題".沒有養成數學思維,而先養成了解題思維,恐怕是今天學習與使用數學,統計相關事務的最大障礙與問題.
在這本書中學到的觀念其實很清楚,文本中雖然提供部分的數學,數字,方程式,公式,但其實真的要用運算或是要強調這些東西的文本很少,事實上本書不是在教你運算什麼.它純粹提供一些在生活中看似受數學思考影響的事情,但重心不在數字,書本身所想表示的就是世界裡有結構,我們有希望瞭解其中一部分,運用數學理解世界構成中某些的成分,同時也釐清因為數學而造成對結構的誤解所在,書本身就是在澄清數學的極限與有限,讓人們勿須僅能瞠目結舌的接受感官訊息,它能讓我們觀察到好東西多了比如稅率,效用並不見得總是更好.或者只要給予足夠機會,不太可能發生的事也會多發生,比如大量簽注樂透.幫助我們做決策時不要只關注到最可能的未來,應該看到所有可能未來興起的突發事件,注意到哪些比較可能,哪些比較不可能,且它讓我們對於群體信念與個體信念的規則應該相同的想法不再堅持.有了這些認識就是找到了認知的甜蜜點,即使沒有寫下一條方程,沒有畫出一幅圖像,但你就是在做數學,你正以額外手段擴充常識,想更清楚的認識世界的各類組成結構就要好好的使用數學,並思考它與周遭之間的變化關係.這本書涵蓋了線性思考帶來的弊病,歸納法可能犯的錯誤,均值回歸模型中存在的問題,多參與者民調的困境,及波士頓彩票系統變革所帶來的思考,都是相對能帶來許多思考的問題,值得讀者花一點時間去慢慢地閱讀理解,只不過我認為這書對純文科生應該不算太友善就是了.以上.
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